$\frac{1}{1+i}$ জটিল মূল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ কোনটি?

ব্যাখ্যাঃ

কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের মূল জটিল সংখ্যা হলে, এর সহগগুলি বাস্তব হলে অন্য মূলটি অবশ্যই প্রথম মূলটির অনুবন্ধী (conjugate) হবে।

দেওয়া আছে, একটি মূল \( = \frac{1}{1+i} \)।

প্রথমে এই মূলটিকে সরল করে নিতে হবে:

\[ \alpha = \frac{1}{1+i} \]

লব ও হরকে হরের অনুবন্ধী সংখ্যা \( (1-i) \) দ্বারা গুণ করে পাই:

\[ \alpha = \frac{1}{1+i} \times \frac{1-i}{1-i} \] \[ \alpha = \frac{1-i}{1^2 - (i)^2} \] \[ \alpha = \frac{1-i}{1 - (-1)} \] \[ \alpha = \frac{1-i}{1+1} \] \[ \alpha = \frac{1-i}{2} \] \[ \alpha = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i \]

যেহেতু একটি মূল \( \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i \), তাহলে অন্য মূলটি (অনুবন্ধী মূল) হবে:

\[ \beta = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i \]

এখন, মূলদ্বয়ের যোগফল (\( \alpha + \beta \)) নির্ণয় করি:

\[ \alpha + \beta = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\right) \] \[ \alpha + \beta = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i \] \[ \alpha + \beta = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \]

এবং, মূলদ্বয়ের গুণফল (\( \alpha\beta \)) নির্ণয় করি:

\[ \alpha\beta = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i\right) \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\right) \]

আমরা জানি, \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \)। এই সূত্র ব্যবহার করে পাই:

\[ \alpha\beta = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}i\right)^2 \] \[ \alpha\beta = \frac{1}{4} - \frac{1}{4}i^2 \]

যেহেতু \( i^2 = -1 \):

\[ \alpha\beta = \frac{1}{4} - \frac{1}{4}(-1) \] \[ \alpha\beta = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \] \[ \alpha\beta = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

মূলদ্বয় \( \alpha \) এবং \( \beta \) বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো \( x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0 \)।

মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফলের মান বসিয়ে পাই:

\[ x^2 - (1)x + \frac{1}{2} = 0 \] \[ x^2 - x + \frac{1}{2} = 0 \]

সমীকরণটিকে পূর্ণসংখ্যা সহগে প্রকাশ করার জন্য উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা গুণ করি:

\[ 2(x^2 - x + \frac{1}{2}) = 2(0) \] \[ 2x^2 - 2x + 1 = 0 \]

এটি প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে 3 নং অপশনের সাথে মিলে যায়।